Estudo Dirigido - Transformações Geométricas e Transformações de (Sistemas de) Coordenadas

1. Liste os sistemas de coordenadas que você conhece, exemplificando-os através da especificação de um ponto no espaço R³.
2. Pode se obter o mesmo resultado visual ao aplicarmos transformações geométricas e transformações de (sistemas de) coordenadas sobre um mesmo objeto? Em outras palavras, podemos modelar transformações geométricas como operações de mudança de base?
3. Seja uma pirâmide definida pelos vértices A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0) e D(0,0,1).
   1. Obtenha as novas coordenadas da pirâmide depois de rotacioná-la com um ângulo de 45^o em tiorno do eixo (0,0,1) que passa pelo ponto (0,1,0).
   2. Qual é a transformação de coordenadas necessária para obter o mesmo resultado visual do item anterior, mas mantedo as coordenadas originais da pirâmide?
4. O que são coordenadas homogêneas? Liste as suas aplicações em Computação Gráfica.
5. Onde se situa um ponto (2,5,1,0) no espaço R³?
6. Como se pode modelar deslocamentos de um objeto ao longo de um vetor arbitrário (v_x,v_y,v_z) por k unidades?
7. Como se pode modelar rotações de um objeto em torno de um eixo arbitrário fixo (v_x,v_y,v_z)?
8. Como se pode modelar a alteração das dimensões de um objeto na razão s_x,s_y,s_z nos eixos x, y e z, respectivamente, com o seu centróide fixo?
9. Usando o mesmo princípio de modelagem dado no item anterior, obteremos exatamente o mesmo resultado visual se mantermos, no lugar do centróide, um dos seus vértices fixo?
10. Como se pode modelar o "rebatimento" (reflexão) de um objeto em relação a um plano definido pela equação ax+by+cz+d=0?
11. Como se pode modelar o "cisalhamento" do topo de um paralelepípedo apoiado no plano xz na direção do vetor (0,0,1)?
12. Seja um retângulo definido pelos vértices A(0,0), B(0,4), C(3,4) e D(3,0). Quais são as novas coordenadas destes vértices depois de
    1. deslocarmos o retângulo na direção do vetor (1/sqrt(3),2/sqrt(3)) por 3 unidades.
    2. ampliarmos o tamanho do retângulo por três vezes.
    3. rotacionarmos o retângulo de 30^o em torno do ponto P(-4,-4)
    4. refletirmos o retângulo em torno do eixo y.
    Justifique a sua solução.
13. O que é uma isometria?
14. O que é uma transformação linear?
15. É correta a afirmação: "Toda transformação linear é uma isometria"? Justifique.
16. É correta a afirmação: "Nem toda isometria é uma transformação linear"? Justifique.
17. Obtenha uma transformação de coordenadas, tal que os eixos (1,1,0), (0,0,1) e (1,-1,0) passam a ser (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) no novo sistema de referência.
18. Qual é a relação de um quatérnio e uma matriz 4x4 em termos de uma rotação de um ângulo theta em torno de um eixo (v_x,v_y,v_z)?
19. Expressa em termos de matriz e quatérnios a concatenação de duas rotações, uma rotação de ângulo 60^o em torno do eixo y seguido de uma rotação de ângulo 60^o em torno do eixo x. Compare os dois modelos em termos de número de operações utilizadas e o espaço de memória requerido armazenar o resultado.
20. Explique: "Em comparação com as matrizes, a representação por quatérnios facilita a interpolação de rotações."