Estudo Dirigido - Modelos Geométricos

1. O que você entende por abstrações da geometria de objetos? Qual é a finalidade destas abstrações?
2. Liste algumas proporedades desejadas de um modelo geométrico.
3. O que você entende por representações implícitas e representações paramétricas? Para tratamento dos dois problemas básicos em Computação Gráfica: amostragem dos pontos e classificação de pertinência dos pontos em relação a um objeto, qual delas é a mais apropriada?
4. Em quais condições uma variação constante nos valores do parâmetro t de uma curva parametrizada C(t) resulta numa sequência de pontos, (x(t),y(t),z(t)), igualmente espaçados?
   Dica: Analise as duas equações abaixo
   1. (sqrt(4 - u²),u), com u variando entre 0 e 2.
   2. x = 2 cos (theta) e y = 2 sen (theta), com theta variando entre 0 e 2*pi?
5. A expressão geral da família de cônicas (círculo, elipse, parábola e hipérbole) é A x² + B xy + C y² + D x + E y + F = 0 Caracterize cada classe dessas cônicas em função dos coeficientes A, B, C, D, E e F.
6. A expressão geral da família de de superfícies quádricas (esferas, elipsóides, hiperbolóides, cilindros e parabolóides) é A x² + B y² + C z² + D xy + E yz + F xz + Gx + Hy + Jz + K = 0 Caracterize cada classe dessas superfícies em função dos coeficientes A, B, C, D, E, F, G, H, J e K.
7. Qual é a expressão geral da família de curvas de Hermite cúbicas? Caracterize-as em função dos seus pontos de extremo (mais precisamente, dos vetores-posição e vetores-tangente).
8. Qual é a expressão geral da família de superfícies de Hermite bicúbicas? Caracterize-as em função das informações geométricas dos seus pontos de extremo (mais precisamente, dos vetores-posição, vetores de primeira derivada parcial e vetores de segunda derivada).
9. Qual é a expressão geral da família de curvas de Bézier? Caracterize-as em função dos seus pontos de controle.
10. Qual é a expressão geral da família de superfícies de Bézier? Caracterize-as em função dos seus pontos de controle.
11. Curvas de Hermite e de Bézier cúbicas são descritas por funções polinomiais de grau 3. Mostre que elas são equivalentes.
12. O que é um vetor normal a uma superfície em um dado ponto? Determine os vetores normais às seguintes superfícies no ponto (x,y,z):
    1. x² + y² + z² = 9.
    2. ax+by+cz+d = 0.
    3. (u, v, u²+ v²), com u,v entre 0 e 1.
    4. (u, v, u³ - 3 v²u), com u,v entre 0 e 1.
    5. ((u-v)², u-v², uv), com u,v entre 0 e 1.
    6. (h+acos(theta), (k+bsen(theta))cos(alpha), (k+bsen(theta))sen(alpha)), com theta e phi entre 0 e 2*pi.
    Observe que para cada ponto existem dois vetores normais de sentido oposto, cada um apontando para um "lado" da superfície. Quando se trata de uma superfície fechada, convenciona-se em Computação Gráfica fixar a orientação (anti-horária) nas superfícies de forma que os vetores normais apontem para o seu exterior.
13. Como se pode avaliar a curvatura de uma superfície no ponto (x,y,z) definida (a) implicitamente? e (b) explicitamente?
14. Como se obtém a interseção entre uma reta e uma superfície definida (a) implicitamente? e (b) parametricamente?
15. Explique a seguinte afirmação: "Os vértices de um polígono, quando devidamente "orientados", são suficientes para descrevê-lo completamente."
16. Considere um sistema gráfico que só consegue "rasterizar" segmentos de reta P₁P₂ através da instrução Line(Point3 *P₁, Point3 *P₂). Qual solução você adotaria para "desenhar" as seguintes curvas:
    1. (1.0*(1-t)³+6.0t(1-t)²+12.0t²(1-t)+3.0t³, 1.0*(1-t)³+9.0t(1-t)²+9.0t²(1-t)+t³), com t variando entre 0 e 1.
    2. x = +sqrt(4 - y²) e x = -sqrt(4 - y²), para quaisquer y?
    Comente sobre os erros "de aproximação" cometidos.
17. Considere um sistema gráfico que só consegue "rasterizar" facetas planares através da instrução Face(int n_pt, Point3 **Point_List, Color *color). Veremos adiante que a orientação das superfícies é essencial na geração correta das imagens. Qual solução você adotaria para "desenhar" as seguintes funções:
    1. (a cos s, b sen s cos t, b sen s sent t), com s entre 0 e pi e t entre 0 e 2*pi.
    2. ((u-v)², u-v², uv), com u,v entre 0 e 1.
    Comente sobre os erros "de aproximação" cometidos.
18. É possível descrever a geometria de um cubo ou uma mesa com uma única equação? Caso não, sugira três soluções alternativas para modelar objetos geométricos que não sejam descritíveis por uma única equação algébrica, tomando cuidado de manter consistente a orientação entre as partes.