Tópicos

1. Superfícies de Bézier e B-Splines retangulares
2. Superfícies de Bézier triangulares
3. Superfícies de Coons

Exercícios de Fixação

1. Mostre que um ponto obtido pelas duas interpolações bilineares sucessivas com a mesma razão é equivalente a um ponto sobre uma superfície definida pelos polinômios de Bernstein quadráticos (a forma tensorial das superfícies de Bézier retangular).
   (Dica: Utilize a definição de interpolação bilinear e a definição recorrente das funções de Bernstein.)
2. Uma superfície de Bézier retangular pode ser obtida pelo deslocamento dos pontos de controle de uma curva de Bézier A ao longo de uma outra curva de Bézier B perpendicular a ela. Obteremos a mesma superfície se deslocarmos os pontos de controle da curva B ao longo da curva A? Justifique.
3. Se todas as curvas paramétricas de uma superfície de Bézier são convexas, então a superfície é convexa? Caso não forem, dê um contra-exemplo.
4. Como as vizinhanças dos cantos de uma superfície de Bézier aparentam quando as derivadas mistas destes cantos assumam valores iguais a zero?
5. Como se pode definir uma superfície fechada utilizando os polinômios B-Spline como base?
6. Apresente um algoritmo que divide uma superfície B-Spline de grau (m,n) em um conjunto de superfícies de Bézier de grau (m,n).
   (Dica: Ver a seção 17-9 do livro de Farin).
7. Uma superfície de Bézier retangular ou B-Spline é invariante sob transformações afins? Justifique.
8. Uma superfície de Bézier retangular ou B-Spline está sempre contida no fecho convexo definido pelos pontos da malha de controle? Justifique.
9. Mesa/ OpenGL provê funções para definir superfícies de Bézier e B-Spline. Os programas bezmesh.c e bezsurf.c demonstram a definição de uma superfície de Bézier em representação aramada e renderizada, respectivamente. Os programas surface.c e nurbs.c demonstram, por sua vez, a definição de uma superfície B-Spline aberta e "semi-aberta", respectivamente. Utilize o arquivo Makefile para gerar os executáveis destes programas. Exercite os conceitos, alterando os parâmetros destas superfícies.
10. Os polinômios de Bernstein utilizados na definição de superfícies de Bézier triangulares contém três variáveis. Por que eles são denominados bivariáveis?
11. Uma superfície de Bézier triangular é invariante sob transformações afins? Justifique.
12. Uma superfície de Bézier triangular está sempre contida no fecho convexo definido pelos pontos da malha de controle? Justifique.
13. Quantos pontos de controle são necessários para definir uma superfície de Bézier triangular de grau n?
14. Esboce graficamente, com o uso do esquema de De Casteljau, o procedimento para obter o ponto p(0.2,0.4,0.5) sobre uma superfície de Bézier triangular de grau 2.
15. Sejam quatro curvas, P(u,0), P(u,1), P(0,w) e P(1,w), que se interceptam nos pontos P(0,0), P(1,1), P(0,1) e P(1,0). Interpole estas quatro curvas com uma superfície de Coon linear.
    (Dica: Ver a seção 6-9 do livro de Rogers e Adams.)
16. Sejam quatro curvas de Hermite cúbicas, P(u,0), P(u,1), P(0,w) e P(1,w), que se interceptam nos pontos P(0,0), P(1,1), P(0,1) e P(1,0). Interpole estas quatro curvas com uma superfície de Coon bicúbica.
    (Dica: Ver a seção 6-10 do livro de Rogers e Adams.)
17. Superfícies de Coon cúbicas que apresentam derivadas mistas iguais a zero nos seus cantos são denominados superfícies de Ferguson. O que se pode afirmar sobre a aparência geométrica nos cantos destas superfícies?
18. Existem três formas para alterar a geometria de uma superfície de Coon bicúbica: os vetores de posição, os vetores-tangente e as derivadas mistas dos cantos da superfície. Explique como cada um deles afeta a geometria da superfície.