Tópicos

1. Curvas B-Spline
2. Curvas Racionais

Exercícios de Fixação

1. Qual é a base de polinômios que gera curvas B-Spline? Cite duas propriedades desta base.
2. Por que se pode considerar uma curva B-Spline de ordem k como composição de segmentos de curvas de grau k-1? Como é a forma de uma curva B-Spline de ordem 1?
3. Como o domínio de parâmetro t está relacionado com o número de segmentos que compõem uma curva B-Spline?
4. O que é um vetor de nós? Qual é a sua relação com o número de intervalos no domínio de parâmetro t que define uma curva B-Spline?
5. Qual é a diferença entre uma curva B-Spline uniforme e uma não-uniforme?
6. Seja uma cuva B-Spline cúbica (k=4). Qual é o número de intervalos no domínio de parâmetro t, para os quais a curva B-Spline está definida, se forem dados os seguintes vetores de nós:
   1. {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
   2. {1,1,1,1,2,4,4,4,4}
   3. {0,1,2,3,3,3,3,4,5}
   4. {0,1,2,2,3,3,4,4,4}
   Justifique.
7. Mostre que curvas de Bézier de grau k-1 são casos particulares de curvas B-Spline de ordem k definidas sobre o intervalo [t₀, t_m], com os k primeiros nós do vetor de nós iguais a t₀ e os k últimos nós iguais a t_m. (Dica: Mostre que os polinômios N_i,k(t) e B_i^k-1(t) são equivalentes neste caso.)
8. É possível gerar uma curva B-Spline descontínua? Exemplifique.
9. Como a multiplicidade de um valor (do parâmetro) num vetor de nós afeta a influência das funções N_i,k(t) sobre a curva B-Spline em termos do espaço de parâmetro?
10. Todas curvas B-Spline interpolam os pontos extremos do seu polígono de controle? Justifique.
11. Como se define uma curva B-Spline fechada? Qual é a outra denominação para esta classe de curvas?
12. As curvas B-Spline são invariantes sob transformações afins? Justifique.
13. Por que as curvas B-Spline são consideradas controláveis localmente?
14. Dados os seguintes pontos de controle [1 1], [2 3], [4 3] e [3 1] e o vetor de nós {0,0,0,1,2,2,2} de uma curva B-Spline quadrática (grau 2). Calcule o ponto P(1.5) sobre a curva utilizando os polinômios de base e o algoritmo de De Boor.
15. Mostre que um ponto de controle com multiplicidade k-1 numa curva B-Spline de ordem k é uma cúspide da curva. (Dica: Verifique quando a primeira derivada de um ponto se anula.)
16. Aumente para 3 o grau da curva dada no exercício 14.
17. O que são curvas racionais?
18. O que são NURBS?
19. O que são os pesos dos pontos de controle? Como eles afetam a forma geométrica de uma curva?
20. Utilize polinômios de Bernstein racionais para descrever parábola, elipse e hipérbole. (Dica: Consulte o livro Interactive Curves and Surfaces.)