Tópicos

1. Curvas de Bézier
2. Curvas de Hermite

Exercícios de Fixação

1. Qual é a base de polinômios que gera curvas de Bézier? Cite duas propriedades desta base.
2. Mostre que as curvas de Bézier são invariantes sob transformações afins.
3. Cite três propriedades das curvas de Bézier que garantem o controle visual da sua forma através do seu polígono de controle.
4. É possível representar um segmento com uso de polinômios de Bernstein? Exemplifique.
5. Como se obtém as derivadas de um ponto sobre a curva de Bézier utilizando o esquema de De Casteljau?
6. Esboce uma curva de Bézier cúbica planar que apresente uma cúspide. Pode conter uma cúspide uma curva de Bézier cúbica não-planar?
7. Seja o seguinte polígono de controle: (1,0), (0,2), (1,5.5), (6,5.5) e (7.5,0.5). Obter o ponto P(0.6) e a sua primeira derivada com uso de polinômios de Bernstein e o algoritmo de De Casteljau.
8. Por que o algoritmo de De Casteljau é numericamente mais estável para obter um ponto sobre curvas de Bézier do que o algoritmo que envolve polinômios de Bernstein.
9. Mostre como se pode elevar o grau de uma curva de Bézier. Cite duas aplicações de algoritmos que elevam o grau de uma curva de Bézier.
10. Derive as formas polares para os seguintes polinômios:
    1. 2 + 3t - t² + t³.
    2. 5 t³ + t².
    3. 4 t⁴ + 2 t³.
11. Utilize a notação da forma polar para representar o ponto P(0.6) do exercício 7.
12. Utilize a notação do esquema de De Casteljau e a notação da forma polar para representar os dois polígonos de controle das duas curvas de Bézier que se resultaram da subdivisão da curva de Bézier dada no exercício 7 no ponto P(0.6).
13. A interface OpenGL/ Mesa provê funcionalidades para gerar curvas de Bézier a partir dos polígonos de controle especificados, como demonstra o programa bezcurve.c, cujo executável pode ser obtido com Makefile. Altere os valores do parâmetro ctrlpoints deste programa para ver os efeitos visuais.
14. Qual é a relação entre os vetores tangentes de curvas de Hermite e as duas arestas extremas dos polígonos de controle de curvas de Bézier?
15. Qual é a relação entre os polinômios de Bernstein cúbicos e os polinômios de Hermite cúbicos?
16. As curvas de Hermite são invariantes sob transformações afins? Justifique.
17. Mostre que se alterarmos o domínio de parâmetro que define uma curva de Hermite a forma da curva é também alterada. Qual ajuste deve ser introduzido para que a forma da curva se mantenha?
18. Mostre que uma curva de Hermite não é simétrica em relação aos seus coeficientes geométricos.
19. Como os vetores tangentes afetam a forma de curvas de Hermite? Exemplifique.