Universidade Estadual de Campinas
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
IA725 -- 1 $^{\underline{o}}$ Semestre de 2003

  

IA725 - Computação Gráfica
Prova 1
27/03/2003 - 8:00 às 9:50h
Profa. Wu, Shin - Ting

RA: 
Nome: 
Ass.: 

Questão 1:

Dada a equação

$$x^2 +24 xy - 6y^2 = 5$$

1. (0.5 pt) A qual tipo de seção cônica corresponde a equação (hipérbole, parábola ou elipse)?

2. (0.5 pt) Qual é a matriz que transforma os eixos do sistema de referência no qual está definido a figura acima para as suas direções principais da seção cônica?

3. (1.0 pt) Seja $F(w)$, $w$ em radianos, a transformada de Fourier de $f(x)$. Mostre que ${\cal F}\{f(ax)\} = \frac{1}{\vert a\vert} F(\frac{w}{a})$, $\forall a \neq 0$.

4. (0.5 pt) Se aumentarmos a escala de uma função no domínio espacial, o que acontece com a escala no domínio de frequências? (Dica: Analisar a igualdade no item anterior).

Questão 2:

Dadas as funções de base

• de Hermite cúbicas
  

  $$F_1(t) = 2t^3 - 3t^2 + 1,$$

  $$F_2(t) = -2t^3 + 3t^2,$$

  $$F_3(t) = t^3 - 2t^2 + t,$$

  $$F_4(t) = t^3 - t^2$$ (1)

  
  

• de Bernstein
  
  $$B_{n,i}(t) = \left(\begin{array}{c} n \\ i \end{array}\right) t^i (1-t)^{n-i}$$
  
  

• de Base
  
  $$N_{i,1} (t) = \left\{\begin{array}{cc} 1 & {\mbox se~} t_i \... ...+1} \\ 0 & {\mbox caso~ contr\acute ario.} \end{array}\right.$$
  
  
  e
  
  $$N_{i,k} (t) = \frac{(t-t_i)N_{i,k-1}(t)}{t_{i+k-1} - t_i} + \frac{(t_{i+k}-t)N_{i+1,k-1}(t)}{t_{i+k} - t_{i+1}}.$$
  
  

1. (0.5 pt) Qual é a matriz de conversão de grandezas geométricas que definem uma curva de Hermite em grandezas que definem uma curva de Bézier?

2. (1.5 pt) Esboce os gráficos das funções $N_{1,3}(t)$, $N_{2,3}(t)$, $N_{3,3}(t)$, $N_{4,3}(t)$ e $N_{5,3}(t)$ para um vetor de nós $[0~0~0~1~1~3~3~3]$.

3. (0.5 pt) Como seriam as expressões das funções $N_{1,3}(t)$, $N_{2,3}(t)$, $N_{3,3}(t)$, $N_{4,3}(t)$ e $N_{5,3}(t)$ para as curvas de B-splines racionais com os seguintes pesos $[1~1~0.5~1~1]$?

Questão 3:

Para modelar uma cena contendo uma bola de raio de 2 unidades sobre uma mesa, foram utilizados os modelos abaixo

As coordenadas dos 12 vértices do modelo da bola centrado na origem são

$$\left[\begin{array}{c} -A \\ 0 \\ B \end{array}\right],~\l... ...ht],~\left[\begin{array}{c} 0 \\ B \\ -A \end{array}\right],$$

$$\left[\begin{array}{c} 0 \\ -B \\ A \end{array}\right],~\l... ...t],~\left[\begin{array}{c} -B \\ -A \\ 0 \end{array}\right],$$

onde $A = 1.051462224238267212$ e $B=1.701301616704079864$.

1. (1.0 pt) Utilize a codificação vértice-face para descrever a geometria do tampo da mesa e uma das pernas. Explique sucintamente a sintaxe que você adotou. (Dica: não se esqueça da coerência nas orientações das faces e das quantidades de vértices e faces!)

2. (0.5 pt) Como poderemos visualizar a bola sem as pontas?

3. (0.5 pt) Mostre que ${\cal T}P(t) = \sum_i B_{n,i}(t) ({\cal T} P_i)$. para as transformações afins.

4. (0.5 pt) Determine a matriz de rotação da mesa em torno do centro da mesa por um ângulo de $45^0$ no sentido anti-horário.

5. (1.0 pt) Derive a matriz de rotação de um ponto $P$ em torno de um eixo unitário $[n_x ~n_y ~n_z]$ que passa pela origem por um ângulo $\theta$.

Questão 4:

Dados os parâmetros de uma câmera:

• a posição: $P=[3.0~4.0~-4.0~1]^t$
• centro de interesse: $C= [0~0~0~1]^t$ (o eixo focal é a reta que passa pela câmera e o seu centro de interesse)
• orientaçõ: $VUP = [0~-1.0~0~0]^t$

1. (1.0 pt) Determine a transformação do sistema no qual está definida a câmera para um novo sistema em que a câmera fique na origem, o vetor ${\vec d} = C - P$ coincida com o eixo $z$ e que o vetor $VUP$ fique no plano $yz$.

2. (0.5 pt) Qual é a distância do plano de projação em relação à posição da câmera?