Superfície de Cosserat

A superfície de Cosserat consiste de uma superfície com um vetor diretor em cada ponto da mesma, não necessariamente na direção normal. Com a superfície de Cosserat modela-se o comportamento de deformação de uma casca fina. Nosso modelo é embasado na teoria de superfície de Cosserat por abordagem direta, isto é, os princípios físicos de equilíbrio são para uma área arbitrária da superfície.

Existem 4 vetores importantes no modelo de Cosserat:

vetores tangentes:

vetor normal unitário:

vetor diretor:

Associado a estes vetores temos as seguintes medidas geométricas:

Tensor métrico:		Tensor curvatura:

onde os índices gregos assumem valores 1 e 2 e os índices latinos assumem valores 1, 2 e 3.

As medidas físicas de variação de comprimento, cisalhamento nas direções tangentes, variação de espessura, variação de curvamento e cisalhamento transversal são calculadas a partir das medidas geométricas pelas expressões

esticamento e cisalhamento	espessura e cisalhamento transversal	curvatura

onde a medidas geométricas representada pelas letras maiúsculas correpondem as respectivas medidas geométricas representadas pelas letras minúsculas no tempo inicial t=0, isto é, correspondem as medidas geométricas da superfície inicial.

Nosso interesse é apenas nas deformções da superfície. Assim, propomos a seguinte restrição para o vetor diretor:

em toda etapa de tempo.

Dessa forma, as medidas físicas ou medidas de deformações se reduzem as medidas de deformações da superfície:

variação métrica	s/ variação da espessura e cisalhamento transversal	variação da curvatura

Para a dinâmica da simulação utilizamos a equação do movimento

onde no lado esquerdo da igualdade o primeiro termo é a força inercial, o segundo termo é a força de amortecimento, o terceiro termo é a força elástica e no lado direito da igualdade temos a força externa. A barra vertical acima corresponde a derivada covariante com respeito a coordenada de superfície, que independe do sistema de refer^encia. Esta derivada covariante está associada ao tensor métrico da superfície atual. O vetores

são forças que atuam nas curvas coordenadas.
Temos um impasse de recorrência a resolver conforme mostra o diagrama abaixo:

		força elástica

superfície	medidas geométricas	energia interna

	medidas físicas

Perante as dificuldades para o cálculo da força elástica e com a premissa de reduzirmos, ap'os a discretização, o sistema de equações parciais não-lineares num sistema linear algébrico, estabelecemos que o cálculo das componentes dos vetores forças-curva será com relação a superfície do tempo imediatamente anterior ao tempo atual, como indica o diagrama abaixo:



Quadro atual e anterior:


Quadro anterior:

onde

As direções aproximadas pela direções da etapa de tempo anterior estão associadas a energia que relaciona a variação métrica com a variação da curvatura, dada pela terceira parcela da energia abaixo.

O nosso modelo necessita de uma energia interna, a qual estimamos pela forma quadrática

onde os coeficientes de elasticidade são calculados pelas expressões

onde

é a componente do tensor métrico recíproco da superfície no estado inicial.
O terceiro termo da energia acima é responsável pela formação de dobras e rugas quando a superfície é inicialmente plana e as forças são tangentes.
As equações constitutivas determinam o comportamento da superfície como sendo elástico, plástico, elastoplástico, etc. Estabeleceremos que a nossa superfície de Cosserat é elástica. Dessa forma, a energia interna estará relacionada com as seguintes medidas simétricas:

que compõem as componentes dos vetores forças-curva pelas seguintes relações:

onde

são os coeficientes de Waingarten.

As densidades de massa e amortecimento são calculadas pelas expressões:

onde as integrais correspondem as áreas das superfície no instante t=0 e t=k.

Implementação:

Usamos diferenças finitas para a discretização do nosso modelo. Para a discretização espacial dividimos a força elástica em duas partes

associadas aos dois primeiros termos da energia e ao terceiro termo da energia, respectivamente. Utilizamos os operadores de diferenças anterior e posterior de primeira ordem, os operadores de diferenças cruzadas anterior e posterior e o operador de diferença central de segunda ordem

Agrupando os pontos da superfície e a força em cada ponto num vetor coluna escrevemos a força elástica como abaixo

e o sistema de equações parciais não-lineares num sistema de equações ordinárias acopladas

com M e C matrizes diagonais formadas pelas densidades de massa e amortecimento respectivamente.

Para a discretização temporal utilizamos diferenças centrais de primeira e segunda ordem

Dessa forma, após a realização da discretização temporal o sistema de equações ordinárias acopladas de segunda ordem tornar-se-á num sistema linear algébrico