Trabalho 4 – Clausius Reis (66812)
IA841 – Introdução à modelagem de sólidos
Foi criado um sólido a partir de uma curva de bézier cúbica, para isso foi utilizada uma função cúbica f(x,y) para quatro pontos de controle:
P1 (0, 0, 0)
P2 (4, 0, 0)
P3 (1, 2, 0)
P4 (2, 4, 0)
B(t) = P0(1-t)3 + 3P1t(1-t)2
+ 3P2t2(1-t) + P3T3, t € [0,1]
Calculando a equação para os meus quatro pontos de controle obtive a seguinte função:
F(x(t), y(t), z(t)) = (11t3 - 21t2 +12t , -2t3+6t2,
0)
Com essa função em mãos, escolhi um eixo para fazer a rotação, obtendo assim meu sólido. No caso, escolhi o eixo Y para que fosse criado um “copo”.
Como a função após a rotação é dada na forma r(u,v):
r(u,v) = (r(u)cos(v), y(u), r(u)sin(v))
A função que me dá os pontos do sólido mudou para:
r (t,θ) = (
(11t3 - 21t2 +12t)cos(θ), -2t3+6t2,
(11t3 - 21t2 +12t)sin(θ))
Com isso em mãos, foi obtido o seguinte sólido:
Os pontos em vermelho são os pontos de controle, os pontos verdes são a minha curva de bézier original e as linhas em azul são o resultado obtido pela rotação dessa curva.
O triedro móvel é um conjunto de 3 vetores, dois deles compondo o plano tangente à superfície e a normal à esse plano.
Para obter esses vetores, primeiramente foi preciso obter as derivadas parciais Ru e Rv (Rt e Rθ), para determinar os vetores tangentes à superfície.
O vetor normal é obtido pelo produto vetorial entre os dois vetores tangentes, dividindo o resultado pelo seu módulo.
Além do vetor normal e das direções principais, foram também obtidos os valores das curvaturas Média e Gaussiana.
Para esse cálculo foi necessário encontrar os coeficientes da primeira e segunda forma fundamental:
E, F, G da primeira forma fundamental
e, f, g da segunda forma fundamental
Para a obtenção da curvatura média (H) e curvatura gaussiana (K) foram realizados os seguintes cálculos:
Após isso, foi definido uma escala de cores para a visualização geométrica das curvaturas:
Curvatura Gaussiana:
Curvatura Média
A imagem abaixo foi obtida exibindo o triedro móvel em todos os vértices do meu sólido de uma só vez.
