Universidade Estadual de Campinas
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
EA978 -- 1 $^{\underline{o}}$ Semestre de 2003

  

EA978 - Sistemas de Informações Gráficas
Prova 1
27/03/2003 - 14:00 às 15:50h
Profa. Wu, Shin - Ting

RA: 
Nome: 
Ass.: 

Questão 1:

Dadas duas matrizes

$$A = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\... ...{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

1. (0.5 pt) Determine $A^{-1}$.

2. (0.5 pt) Mostre que $(AB)^{t} = B^{-1}A^{-1}$.

3. (0.5 pt) Diagonalize $B$ (Dica: os elementos da matriz diagonal são os autovalores de $B$ que podem ser complexos.).

Questão 2:

Dada uma função $f(x,y)$ cuja transformada de Fourier no domínio de frequências é $F(u,v)$.

1. (0.5 pt) Determine ${\cal F}\{(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\}$ em termos de $F(u,v)$

2. (0.25 pt) Qual é o comportamento de ${\cal F}\{(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y})\}$ em relação a $F(u,v)$ em baixas frequências?

3. (0.25 pt) Qual é o comportamento de ${\cal F}\{(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y})\}$ em relação a $F(u,v)$ em altas frequências?

Questão 3:

Dados os pontos:

$$P_0 = \left[\begin{array}{c} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \en... ...egin{array}{c} 7.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{array}\right].$$

Lembrando ainda as definições das funções de base Bernstein

$$B_{n,i}(t) = \left(\begin{array}{c} n \\ i \end{array}\right) t^i (1-t)^{n-i}$$

e das funções de Base

$$N_{i,1} (t) = \left\{\begin{array}{cc} 1 & {\mbox se~} t_i \... ...+1} \\ 0 & {\mbox caso~ contr\acute ario.} \end{array}\right.$$

e

$$N_{i,k} (t) = \frac{(t-t_i)N_{i,k-1}(t)}{t_{i+k-1} - t_i} + \frac{(t_{i+k}-t)N_{i+1,k-1}(t)}{t_{i+k} - t_{i+1}}.$$

1. (0.25pt) Qual é o grau da curva de Bézier $P(t) = \sum_{i=0}^{4} B_{4,i}(t) P_i$? Justifique.

2. (0.25pt) Qual á a direção do vetor tangente em $P_0$ e em $P_1$ da curva $P(t) = \sum_{i=0}^{4} B_{4,i}(t) P_i$?

3. (1.25 pt) Dado um vetor de nós não-uniforme $[0~0~0~1~2~3~3~3]$. Determine as funções $N_{1,3}(t)$, $N_{2,3}(t)$, $N_{3,3}(t)$, $N_{4,3}(t)$ e $N_{5,3}(t)$. (Dica: Considere $[0,0)$ como um subintervalo e lembre a convenção $\frac{0}{0} = 0$.)

4. (0.25pt) Esboce os gráficos das funções $N_{1,3}(t)$, $N_{2,3}(t)$, $N_{3,3}(t)$ , $N_{4,3}(t)$ e $N_{5,3}(t)$.
   

5. (0.5pt) Uma curva de B-Spline de ordem $k$ é constituída por uma sequência de curvas de Bézier de grau $k-1$. Esboce a curva de B-Spline $P(t) = \sum_{i=1}^{5} N_{i,3}(t) P_{i-1}$ como uma sequência de curvas de Bézier para um vetor de nós uniforme $[0~1~2~3~4~5~6]$.

Questão 4:

Considere que um espaço projetivo ${\cal S}^2$ seja definido pelo centro de projeção $[0~0~0]$ e pelo plano projetivo $z=1$.

1. (0.25pt) Quais são as coordenadas homogêneas de todos os pontos $P = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right]$ ao longo de uma reta que passa pela origem?

2. (0.25pt) Como se representa em notação vetor-coluna das coordenadas homogêneas os pontos no infinito, ou vetores, em ${\cal S}^2$? E os pontos no finito?

3. (0.25 pt) Derive as funções de Bernstein $B_{2,0}(t)$, $B_{2,1}(t)$ e $B_{2,2}(t)$.

4. (0.5 pt) Dados os pontos de controle $P_0 = \left[\begin{array}{c} r \\ 0 \\ 1 \end{array}\right];~ P_1 = \left[\be... ...rray}\right]~~e~ P_2 = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 2r \\ 2 \end{array}\right]$ de uma curva de Bézier racional. Quais são as coordenadas homogêneas $[x~y~1]$ dos pontos sobre esta curva?

5. (0.25 pt) Mostre que a curva de Bézier racional do item anterior é um arco de circunferência de raio $r$ no espaço projetivo ${\cal S}^2$.

Questão 5:

Dadas duas primitivas geométricas:

para compor a seguinte cena:

1. (0.5 pt) Utilize a codificação vértice-face para descrever a geometria do cubo. Explique sucintamente a sintaxe que você adotou. (Dica: não se esqueça da coerência nas orientações das faces e das quantidades de vértices e faces!)

2. (0.25 pt) Se quisermos ter os cantos do tampo da mesa arredondados na imagem, como poderemos definir os vetores normais nestes cantos?

3. (1.0 pt) Replique o cubo 5 vezes. Quais transformações você aplicaria em cima de cada réplica para obter a mesa? Represente as cinco transformações como produtos das transformações básicas (translação, rotação, cisalhamento, mudança de escala e espelhamento).

4. (0.75 pt) Qual transformação devemos aplicar nos vetores normais de cada face das réplicas do cubo se aplicarmos uma transformação ${\cal T}$ nos seus vértices?

5. (0.5 pt) Escreva o resultado da concatenação de duas rotações aplicadas em um ponto $P = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right]$ como um produto de quatérnios. A primeira rotação é $60^o$ em torno de $y$ e a segunda, $60^o$ em torno de $x$.

Questão 6:

Dados os parâmetros de uma câmera:

• a posição: $P=[-5.0~-1.0~7.0~1]^t$
• centro de interesse: $C= [0~0~0~1]^t$ (o eixo focal é a reta que passa pela câmera e o seu centro de interesse)
• orientaçõ: $VUP = [0~0~1~0]^t$

1. (1.0 pt) Determine a transformação do sistema no qual está definida a câmera para um novo sistema em que a câmera fique na origem, o vetor ${\vec d} = C - P$ coincida com o eixo $z$ e que o vetor $VUP$ fique no plano $yz$.

2. (0.5 pt) Escreva a expressão das coordenadas das projeções dos pontos $P = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right]$ no novo sistema de referência, considerando que o plano de projeção passe pelo centro de interesse e que seja perpendicular a ${\vec d}$.